Question

如图，要从一张等腰直角三角形GEF彩纸上裁出一张长方形彩纸ABCD，要求长方形彩纸ABCD的各顶点都在等腰直角三角形GEF的边上，已知GE=GF=20cm，记长方形彩纸ABCD的面积为S．

（1）当S=75cm²，求出长方形彩纸的长和宽．
（2）当S最大时，请画出图形，并求出S的最大值以及此时对应的长方形彩纸的长和宽．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,等腰直角三角形,矩形的性质

专题：

分析：（1）①当长方形一边在EF上时；②当长方形的一边在EG上时；列出方程，求出长方形的长与宽．
（2）运用二次函数的最值分别求出长方形的最大值，并求出长与宽．

解答：解：（1）①如图1，

设AB=x，
∵△GEF是等腰直角三角形，GE=GF=20cm，
∴BC=20

2

-2x，
∴x（20

2

-2x）=75，
解得：x₁=

5

2

2

，x₂=

15

2

2

∴长方形彩纸的长为15

2

宽

5 2

2

或长为

15 2

2

宽为5

2

．
②如图2，

设AB=x，则x（20-x）=75
解得：x₁=5，x₂=15
所以长方形的长是15，宽是5．
（2）按图1，

S=-2x²+20

2

x=-2（x-5

2

）²+100
S最大=100，此时长方形的长是10

2

，宽是5

2

；
按图2，

S=-x²+20x=-（x-10）²+100
S最大=100，此时长方形的长是10，宽是10．

点评：本题主要考查了二次函数的最值，等腰直角三角形和矩形的性质，解题的关键是作长方形时要分两种情况．