Question

14．如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC，延长EC到点P，使PE=PB，连接AC，有下列四个结论：
①$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；②OF=CF；③AC²=AE•AB；④PB是⊙O的切线．
其中一定成立的是①③④（只填结论的序号）

Answer 1

分析 ①正确．根据垂径定理即可判断．
②错误．根据已知条件不能推出CF=OF．
③正确．只要证明△CAE∽△BAC，推出$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，即可证明．
④正确．只要证明∠OBP=90°即可．

解答 解：连接BC，OB，OA，
∵AB⊥CD，CD是圆的直径，
∴BC=AC，弧AC=弧BC，故①正确；
∴∠CAB=∠CBA，
∵CE=AE，
∴∠CAB=∠ACE=∠CBA，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAE∽△BAC，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AE•AB，故③正确；
∵PB=PE，
∴∠PBA=∠PEB，
∵∠PEB=∠CAB+∠ECA=2∠CAB=2∠CBF，
∴∠PBC=∠CBE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBP=∠OCB+∠CBA=90°，
即OB⊥PB，
∵OB是圆O的半径，
∴PB是圆O的切线，故④正确；
根据已知条件不能推出CF=OF，故②错误；
故答案为：①③④．

点评 本题综合考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理，含30度角的直角三角形性质，切线的判定等知识点，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生有较高的要求，但题型较好．