Question

7．如图，边长为1的菱形ABCD，∠DAB=60°，则菱形ABCD的面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°，则菱形ACC₁D₁的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；连接对角线AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D，使∠D₂AC₁=60°，则菱形AC₁C₂的面积是$\frac{9\sqrt{3}}{2}$；…；按此规律所作的第n个菱形的面积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$×3ⁿ
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$×3ⁿ⁺¹
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$×3^n-1
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$×3^2n-1

Answer 1

分析 根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC₁，AC₂的长，从而可发现规律，根据规律不难求得第n个菱形的边长，进而可求第n个菱形的面积．

解答 解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AC₁=$\sqrt{3}$AC=（$\sqrt{3}$ ）²，AC₂=$\sqrt{3}$AC₁=3$\sqrt{3}$=（ $\sqrt{3}$）³，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（ $\sqrt{3}$）^n-1，
∴第n个菱形的面积为=$\frac{1}{2}$×2×[（$\sqrt{3}$）^n-1]²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3^n-1．
故选C．

点评 本题主要考查了菱形的性质以及归纳推理的应用，根据条件确定第n个菱形的边长为（$\sqrt{3}$ ）^n-1，是解决本题的关键，综合性较强．