Question

2．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC∥OD，过点D的切线与AB的延长线交于点E，CB与OD相交于点F，若AB=$\sqrt{35}$，DB=$\sqrt{10}$．
（1）求证：CB∥DE；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，得到∠C=90°，由DE是⊙O的切线，得到∠ODE=90°，然后根据平行线的判定和性质推出结论．
（2）连接AD，得到直角三角形，由勾股定理求得AD的长度，通过三角形相似和切割线定理列方程即可求出结果．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∵AC∥OD，
∴∠A=∠DOB，
∴∠CBO=∠E，
∴BC∥DE；

（2）解：连接AD，
∴∠ADB=90°，
∵AB=$\sqrt{35}$，DB=$\sqrt{10}$．
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}{-BD}^{2}}$=5，
设BE=x，
∵∠DAB=∠BDE，∠E=∠E，
∴△ADE∽△DBE，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{BE}$，∴$\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{DE}{x}$，
∴DE=$\frac{5x}{\sqrt{10}}$，
∵DE²=BE•AE，
∴${（\frac{5x}{\sqrt{10}}）}^{2}$=x$•（x+\sqrt{35}）$，
∴x=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$，
∴BE=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切割线定理，连接AD构造直角三角形是解题的关键．