Question

如图，已知过P点的直线与⊙O相交于A、B，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于D，交圆心O于点E，∠P=30°，AB=2，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：如图，首先作辅助线，求出线段PA的长度；然后证明AE∥PD，运用平行线分线段成比例定理即可解决问题．

解答：解：如图，连接AE，OC；
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC；
又∵∠P=30°，
∴PO=2CO=2，
∴PA=PO-OA=2-1=1；
∵AB为⊙O的直径，
∴AE⊥BD，而PD⊥BD，
∴AE∥PD，
∴∠EAB=∠P=30°，
∴AB=2BE=2，
∴BE=1；
∵AE∥PD，
∴

DE

BE

=

PA

AB

，
即

1

2

=

DE

1

，解得DE=

1

2

，
即DE的长为

1

2

．

点评：该命题以三角形和圆为载体，在考查圆的切线及其应用的同时，还渗透了对直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．