Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=.

（1）求抛物线的解折式．

（2）在直线BC下方抛物线上一点P，当四边形OCPB的面积取得最大值时，求此时点P的坐标．

（3）在y轴的左侧抛物线上有一点M，满足∠MBA=∠ABC，若点N是直线BC上一点，当△MNB为等腰三角形时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解折式为y=x2﹣x﹣2；

（2）P点的坐标为（，﹣）；

（3）点N的坐标为（﹣2，﹣ ）或（8， ）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．

【解析】试题分析：（1）由解析式求得C的坐标，然后根据tan∠ABC=求得OB=3，从而求得B的坐标，进而根据待定系数法即可求得解析式；

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为（x，x﹣3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．

（3）根据题意求得M的坐标，然后分三种情况讨论求得即可．

解：（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2可知C的坐标为（0，﹣2），

∴OC=2，

∵tan∠ABC==

∴OB=3，

∴B（3，0），

∵A（﹣1，0），

把A、B的坐标代入y=ax2+bx﹣2得：

解得，

∴抛物线的解折式为y=x2﹣x﹣2；

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，

设P（x，x2﹣x﹣2），

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵B（3，0），C（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣2．

∴Q点的坐标为（x，x﹣2），

∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPOE+QPEB

=×4×2+（2x﹣x2）×3

=﹣x2+3x+4

=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为．此时P点的坐标为（，﹣）．

（3）设直线AM交y轴于D，

∵∠MBA=∠ABC，

∴OD=OC=2，

∴D（0，2），

设直线AM的解析式为y=mx+2，

代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=﹣，

∴直线AM的解析式为y=﹣x+2，

解得或，

∴M（﹣2，），

设N（x，x﹣2），

∵BM2=（3+2）2+（）2，MN2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，BN2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，

当MB=BN时，N（﹣2，﹣）或（8，）；

当MB=MN时，则（3+2）2+（）2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，

整理得13x2﹣28x﹣33=0，

解得x1=3，x2=﹣，

∴N（﹣，﹣）；

当BN=MN时，（x+2）2+（x﹣2﹣）2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，

整理得10x=﹣35，

解得x=﹣

∴N（﹣，﹣）；

综上，点N的坐标为（﹣2，﹣）或（8，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．