Question

15．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10，则∠ABC=120°，对角线AC的长为10$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，可证得AE=$\frac{1}{2}$AD，即可求得∠ADE=30°，继而求得答案；连接BD，交AC于点O，易得AC⊥BD，由勾股定理，即可求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴sin∠ADE=$\frac{1}{2}$，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-60°=120°；
连接BD，交AC于点O，
在菱形ABCD中，∠DAE=60°，
∴∠CAE=30°，AB=10，
∴OB=5，
根据勾股定理可得：AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
即AC=10$\sqrt{3}$．
故答案为：120°；10$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，菱形的四条边都相等．