[合作学习]如图.矩形ABOD的两边OB.OD都在坐标轴的正半轴上.OD=3.另两边与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象分别相交于点E.F.且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H.过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题:①求出反比例函数的解析式?②当四边形AEGF为正方形时.求点F的坐标．(1)小亮是合作学习一员.请你阅读合作学习内容.帮小亮解答其中①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

【合作学习】如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下面的问题：
①求出反比例函数的解析式？
②当四边形AEGF为正方形时，求点F的坐标．
（1）小亮是合作学习一员，请你阅读合作学习内容，帮小亮解答其中①②的问题；
（2）小亮进一步思考后提出问题：假如“合作学习”中的已知条件不变，那么以O，E，F为顶点的三角形能构成等腰直角三角形吗？请你解决小亮提出的问题：若能构成等腰直角三角形，请求出F点的坐标；若不能构成等腰直角三角形，请说明理由．

分析（1）①先根据矩形的性质得到D（2，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出k=6，则得到反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，根据坐标与图形的关系得到B（2+a，0）），A（2+a，3），所以F点坐标为（2+a，3-a），于是利用反比例函数图象上点的坐标特征得（2+a）（3-a）=6，然后解一元二次方程可确定a的值，从而得到F点坐标；
（2）可分为∠EOF=90°，∠OEF=90°，∠OFE=90°，三种情况进行分类讨论．

解答解：（1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD=3，DE=2，
∴E点坐标为（2，3），
∴k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$（x＞0）；
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a，
∴B点坐标为（2+a，0）），A点坐标为（2+a，3），
∴F点坐标为（2+a，3-a），
把F（2+a，3-a）代入y=$\frac{6}{x}$，得（2+a）（3-a）=6，解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴F点坐标为（3，2）；
（2）设点F的坐标为（a，$\frac{6}{a}$）．
∵点E、F在第一象限，
∴∠EOF≠90°．
∴当OE=OF时，△OEF不能为等腰直角三角形．
当∠OFE=90°时．
设直线EF的解析式为y=kx+b，将点E、F的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{ak+b=\frac{6}{a}}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{a}$．
设OF的解析式为y=k₁x，将点F的坐标代入得：ak₁=$\frac{6}{a}$，解得：k₁=$\frac{6}{{a}^{2}}$．
∵解OFE=90°，
∴-$\frac{3}{a}$•$\frac{6}{{a}^{2}}$=-1．
∴a³=18，
∴a=$\root{3}{18}$．
∵8＜18＜27，
∴2＜$\root{3}{18}$＜3．
此时△OEF的大致位置如图1所示：

∴△OEF不是等腰直角三角形．
当∠OEF=90°，OE=EF时，如图2所示．

∵∠OEF=90°，
∴∠DEO+∠AEF=90°．
又∵∠DEO+∠EOD=90°，
∴∠DOE=∠AEF．
在△DEO和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DOE=∠AEF}\\{∠ODE=∠EAF}\\{OE=EF}\end{array}\right.$，
∴△DEO≌△AFE．
∴AF=DE=2，AE=OD=3，
∴BF=3-2=1，OB=2+3=5．
∴F（5，1）．
∵点F不在反比例函数的图象上，
∴△OEF不能为等腰直角三角形．