Question

2．（1）填空：
2¹-2⁰=1=2^（0）
2²-2¹=2=2^（1）
2³-2²=4=2^（2）
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立．
（3）计算2⁰+2¹+2²+2³+…+2²⁰⁰的值．

Answer 1

分析 （1）根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解；
（2）根据指数结果幂的指数比等式的序数小1解答；
（3）设S=2°+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰，然后表示出2S，再相减计算即可得解．

解答 解：（1）2¹-2⁰=1=2^（0）
2²-2¹=2=2^（1）
2³-2²=4=2^（2）；

（2）第n个等式，2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
说明：2ⁿ-2^n-1=2^n-1（2-1）=2^n-1；

（3）设S=2°+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰，
则2S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹，
所以S=（2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹）-（2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰）=2²⁰¹-1．
故答案为：1，0；2，1；4，2．

点评 本题是对数字变化规律的考查，主要利用了有理数的乘方的计算，难点在于（3）利用整体思想求解．