Question

设a，b为实数，则

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：探究型

分析：设A的坐标是（a，b），B的坐标是（0，1），C的坐标是（1，0），求出A和B之间的距离是AB=

a2+(b-1)2

，A和C之间的距离是AC=

(a-1)2+b2

，求出AB+AC=

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

，即求出AB+AC的最小值，根据两点之间线段最短得出AC+AB的最小值是AB+AC=BC，即最小值是BC的长，求出BC即可．

解答：解：设A的坐标是（a，b），B的坐标是（0，1），C的坐标是（1，0），
则由勾股定理得：A和B之间的距离是AB=

a2+(b-1)2

，
A和C之间的距离是AC=

(a-1)2+b2

，
即AB+AC=

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

，
求

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

的最小值可以看作求出AB+AC的最小值，即点A（a，b）到B（0，1）和C（1，0）的距离和最短的地方，根据两点之间线段最短，
∵AB+AC≥BC，
∴AC+AB的最小值是AB+AC=BC，
即最小值是BC的长，由勾股定理得：BC=

(0-1)2+(1-0)2

=

2

，
即

a2+(b-1)2

+

(a-1)2+b2

的最小值是

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查了最短路线问题、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，关键是能把算式于问题结合起来，题目有一定的难度．