Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b（b＜0）与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD．
（1）若b=-2，求k的值；
（2）求k与b之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线y=2x-2与坐标轴交点的坐标，然后由△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐标，由点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上求出k的值；
（2）首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（-$\frac{b}{2}$，0），B（0，b），再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系．

解答 解：（1）当b=-2时，
直线y=2x-2与坐标轴交点的坐标为A（1，0），B（0，-2）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=2×2=4；

（2）直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A（-$\frac{b}{2}$，0），B（0，b）．
∵△AOB≌△ACD，
∴CD=OB，AO=AC，
∴点D的坐标为（-b，-b）．
∵点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=（-b）•（-b）=b²．
即k与b的数量关系为：k=b²．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的中考试题．