Question

17．如图，正方形ABCD的边长为12，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B'处．
（1）当$\frac{BE}{CE}$=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M，
①CF的长为12；
②求证：AM=FM．
（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为12$\sqrt{2}$；$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$．
（3）当$\frac{BE}{CE}$=3时，求∠DA B'的正弦值．

Answer 1

分析 （1）①根据△ABE∽△FCE，可得$\frac{CF}{BA}$=$\frac{CE}{BE}$，即$\frac{CF}{12}$=1，进而得到CF的长；②根据四边形ABCD为正方形，可得∠F=∠BAF，由折叠可知：∠BAF=∠MAF，即可得出∠F=∠MAF，进而得到AM=FM．
（2）根据∠CAE=∠CFE，可得FC=AC，再根据等腰Rt△ABC中，AC=$\sqrt{2}$AB=12$\sqrt{2}$，即可得到CF的长为12$\sqrt{2}$；由折叠可得，BE=B'E，再根据等腰Rt△CEB'中，CE=$\sqrt{2}$B'E=$\sqrt{2}$BE，即可得出$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM=x，根据Rt△ADM中，AM²=AD²+DM²，得到关于x的方程，求得x的值，最后根据sin∠DA B'=$\frac{DM}{AM}$进行计算即可．

解答 解：（1）①如图1，由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴$\frac{CF}{BA}$=$\frac{CE}{BE}$，即$\frac{CF}{12}$=1，
∴CF的长为12，
故答案为：12；

②证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠BAF，
由折叠可知：∠BAF=∠MAF，
∴∠F=∠MAF，
∴AM=FM．

（2）如图2，由折叠可得，∠BAE=∠CAE，
由AB∥CD可得，∠BAE=∠CFE，
∴∠CAE=∠CFE，
∴FC=AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC=$\sqrt{2}$AB=12$\sqrt{2}$，
∴CF=12$\sqrt{2}$，
即CF的长为12$\sqrt{2}$；
由折叠可得，BE=B'E，
∴等腰Rt△CEB'中，CE=$\sqrt{2}$B'E=$\sqrt{2}$BE，
∴$\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：12$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（3）①当点E在线段BC上时，如图3，A B'的延长线交CD于点M，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{BE}{CE}$，即$\frac{12}{CF}$=3，
∴CF=4，
由（1）②可知AM=FM．
设DM=x，则MC=12-x，则AM=FM=16-x，
在Rt△ADM中，AM²=AD²+DM²，即（16-x）²=12²+x²，
解得：x=$\frac{7}{2}$，
则AM=16-x=16-$\frac{7}{2}$=$\frac{25}{2}$，
∴sin∠DA B'=$\frac{DM}{AM}$=$\frac{7}{25}$．

②当点E在BC的延长线上时，如图4，
由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{BE}{CE}$，即$\frac{12}{CF}$=3，
∴CF=4，
则DF=12-4=8，
设DM=x，则AM=FM=8+x，
在Rt△ADM中，AM²=AD²+DM²，即（8+x）²=12²+x²，
解得：x=5，
则AM=8+x=13，
∴sin∠DA B'=$\frac{DM}{AM}$=$\frac{5}{13}$．
综上所述：当$\frac{BE}{CE}$=3时，∠DA B'的正弦值为$\frac{7}{25}$或$\frac{5}{13}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题（3）的关键是运用分类讨论思想，依据勾股定理列方程进行计算求解，解题时注意分类思想与方程思想的运用．