Question

在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．

　

Answer 1

解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，

则AE=AC=×2=1，

∵翻折后点D与圆心O重合，

∴OE=r，

在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，

即r²=1²+（r）²，

解得r=；

（2）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=25°，

∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，

根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，

∴∠ADC+∠B=180°，

∴∠B=∠CDB=65°，

∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．