Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB延长线于C点．
（1）求证：CD与⊙O相切于点E；
（2）若CE•DE=

15

4

，AD=3，求⊙O的直径及∠AED的正切值．

Answer 1

分析：（1）由题可知，E已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明∠OED=90°即可．
（2）欲求圆的直径，必须求出半径OA或OB或OE，可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑，借助于比例线段来求解．∠AED的正切值则必须求出AD以及ED的值．

解答：（1）证明：连接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠EAD．
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE．
∴∠OEA=∠EAD．
∴OE∥AD．
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上，
∴CD与⊙O相切于点E．

（2）解：连接BE，
∵AB为直径，
∴RT△BAE∽RT△EAD．
∴

BE

AE

=

ED

AD

①
∵CD与⊙O相切于点E，
∴∠CEB=∠OAE．
∵∠C为公共角，
∴△CBE∽△CEA．
∴

AE

BE

=

CE

CB

②
由①②得

DE

AD

•

CE

CB

=1，
∴DE•EC=AD•CB．
∵CE•DE=

15

4

，AD=3，
∴CB=

5

4

．
由（1）知OE∥AD
∴

CO

CA

=

OE

AD

．
设OE=x（x＞0），
则CO=

5

4

+x=

5+4x

4

，CA=

5

4

+2x=

5+8x

4

，
∴

5+4x

5+8x

=

x

3

．
∴x=-1（舍去）或x=

15

8

．
∴⊙O直径为

15

4

．
∴CA=CB+BA=5．
由切割线定理知CE²=CB•CA=

25

4

，
∴CE=

5

2

．
∴DE=

15

4

•

1

CE

=

3

2

．
∴tan∠AED=

AD

DE

=2．

点评：本题主要考查了切线的判定及相似三角形的判定方法等知识点的综合运用．