Question

14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S₁；取BE中点E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四边形E₁D₁FF₁，它的面积记作S₂，照此规律作下去，则S₁=1，S₂₀₁₇=$\frac{1}{{4}^{2016}}$．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据三角形中位线定理和相似三角形的性质定理求出△CDE的面积和△BEF的面积，计算出S₁，同理计算即可．

解答 解：∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵点E为BC边中点，ED∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{{S}_{△CDE}}{{S}_{△CAB}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$，
同∵EF∥AC，点E为BC边中点，
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$，
∴S₁=1，
同理，S₂=$\frac{1}{4}$，S₃=$\frac{1}{{4}^{2}}$，
以此类推，S₂₀₁₇=$\frac{1}{{4}^{2016}}$．
故答案为：1；$\frac{1}{{4}^{2016}}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半、相似三角形的性质定理是解题的关键．