在一个三角形中.设其三边长分别为a.b.c.若满足a2+b2=c2.则这个三角形为直角三角形.类似地.在一个三角形中.设其三个内角的度数分别为x°.y°.z°.若满足x2+y2=z2.则称这个三角形为勾股三角形．(1)如图1.在四边形ABCD中.AB∥CD.∠B=80°.对角线AC将四边形ABCD分割为△ABC和△ACD.若∠CAB:∠CAD:∠D=1:3:6.请问上述两个三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．在一个三角形中，设其三边长分别为a、b、c，若满足a²+b²=c²，则这个三角形为直角三角形，类似地，在一个三角形中，设其三个内角的度数分别为x°，y°，z°，若满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=80°，对角线AC将四边形ABCD分割为△ABC和△ACD，若∠CAB：∠CAD：∠D=1：3：6，请问上述两个三角形中哪一个为勾股三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若某一勾股三角形的三个内角度数分别为x°、y°、z°，满足x＜y＜z，且x+y=17m，xy=360m（m＞0），求m的值和该三角形最大内角的度数；
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠ABC＞40°，BC=$\sqrt{3}$AD，对角线AC将四边形ABCD分割成两个三角形，其中一个为勾股三角形，若∠ACB-∠ABC=30°，连结BD，试猜想以AB、AC、BD为三边围成的三角形的形状，并证明你的结论．

分析（1）分别计算两三角形各角的度数，并计算其平方和可以作判断；
（2）由勾股三角形的定义且x＜y＜z得：z²=x²+y²，变形后得：（180-17m）²=289m²-720m，求出m的值，并计算最大角z的值即可；
（3）先说明△ADC为勾股三角形不成立；则当△ACB一定是勾股三角形，作辅助线，构建直角三角形，确定∠ACB为最大角，设∠ABC=x°，∠CAB=y°，则∠ACB=30+x，根据勾股三角形的定义和三角形内角和列方程组：则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=（30+x）^{2}}\\{2x+y+30=180}\end{array}\right.$，解出，确定△BEC和△ADC为等腰直角三角形，设AE=a，则AC=2a，CE=$\sqrt{3}$a，分别表示AC、AB和BD的长，找关系即可．

解答解：（1）∵∠CAB：∠CAD：∠D=1：3：6，
∴∠CAD=3∠CAB，∠D=6∠CAB，
∴∠BAD=4∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠D=180°，∠CAB=∠ACD，
∴4∠CAB+6∠CAB=180°，
∴∠CAB=18°，
∴∠CAD=54°，∠ACD=18°，∠D=108°，
∵18²+54²≠108²，
∴△ACD不是勾股三角形；
∵∠B=80°，
∴∠ACB=180°-18°-80°=82°，
∵18²+80²=82²，
∴△ABC是勾股三角形；

（2）由题意得：z²=x²+y²，
∵x+y=17m，xy=360m，
∴z²=（x+y）²-2xy=289m²-720m，
∵x+y+z=180°，
∴（180-17m）²=289m²-720m，
解得：m=6，
∴z=180-17m=78°，
∴该三角形最大内角的度数为78°；

（3）猜想：以AB、AC、BD为三边围成的三角形直角三角形，
理由是：如图2，分两种情况：
①当△ADC为勾股三角形时，设∠DAC=x°，∠ACD=y°，
∵∠ADC=90°，
∴x²+y²=90²①，
∵x+y=90，
∴（x+y）²=90²，
即x²+2xy+y²=90²②，
把①代入②得：2xy=0，
∵x≠0，y≠0，
∴2xy≠0，
∴△ADC为勾股三角形不成立；
②当△ACB是勾股三角形时，在AB上取一点E，连接CE，使CE=BE，则∠ABC=∠BCE，
∵∠ABC＞40°，∠ACB-∠ABC=30°，
∴∠ABC＞70°，
∴∠CAB＜70°，
∴∠ACB为最大角，
设∠ABC=x°，∠CAB=y°，则∠ACB=30+x，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=（30+x）^{2}}\\{2x+y+30=180}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=150-2x①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（30+x）^{2}②}\end{array}\right.$，
把①代入②得：（150-2x）²=900+60x，
x²-165x+5400=0，
（x-120）（x-45）=0，
x₁=120°，x₂=45°，
当x=120时，y=150-2×120=-90＜0，不符合题意，舍去，
∴∠ABC=∠BCE=45°，
∠CAB=y=150-2x=60°，
设AE=a，则AC=2a，CE=$\sqrt{3}$a，
∴BE=$\sqrt{3}$a，BC=$\sqrt{6}$a，
∵BC=$\sqrt{3}$AD，
∴$\sqrt{6}$a=$\sqrt{3}$AD，
∴AD=$\sqrt{2}$a，
在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{（2a）^{2}-（\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DCA=45°，
过B作BF⊥DC，交DC的延长线于F，
∴∠BCF=180°-45°-30°-45°=60°，
∴∠CBF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，BF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，
Rt△DFB中，BD²=DF²+BF²=（$\sqrt{2}$a+$\frac{\sqrt{6}}{2}$a）²+（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a）²=8a²+2$\sqrt{3}$a²，
∵AB²+AC²=（a+$\sqrt{3}$a）²+（2a）²=8a²+2$\sqrt{3}$a²，
∴AB²+AC²=BD²，
∴以AB、AC、BD为三边围成的三角形直角三角形．