Question

20．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）求证：△ACD≌△BCO；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当△AOD是等腰三角形时，求α的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，求出∠ACD=∠BCO，根据SAS证出粮三角形全等即可；
（2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．

解答 解：（1）∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°，BC=AC，CO=CD，∠ACB=∠DCO=60°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
∴∠ACD=∠BCO，
在△BOC和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCO=∠ACD}\\{OC=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；

（2）△ADO是直角三角形．
∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；

（3）∵∠COB=∠CAD=α，∠AOD=200°-α，∠ADO=α-60°，∠OAD=40°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴200°-α=α-60°，
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α-60°=40°，
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴200°-α=40°，
∴α=160°．
所以，当α为130°、100°、160°时，△AOD是等腰三角形．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和全等三角形的性质等知识，根据等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．