函数图象有一个公共点.我们就称两个函数图象“共一点 .有两个公共点.则称它们“共两点 -(1)若函数y=-x+b图象和y=-x2+2x图象“共一点 P.求P点坐标,(2)若函数y=-x+1图象和y=ax2+2x图象“共两点 .则a的取值范围是:a＞-$\frac{9}{4}$.且a≠0,(3)若函数y=$\frac{2}{x}$ 与y=ax2+bx图象在第� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

函数图象有一个公共点，我们就称两个函数图象“共一点”，有两个公共点，则称它们“共两点”…
（1）若函数y=-x+b图象和y=-x²+2x图象“共一点”P，求P点坐标；
（2）若函数y=-x+1图象和y=ax²+2x图象“共两点”，则a的取值范围是：a＞-$\frac{9}{4}$，且a≠0；
（3）若函数y=$\frac{2}{x}$ 与y=ax²+bx图象在第一象限“共两点”A、B（A在B左侧），且A、B两点之间水平距离为2，两点之间垂直距离是A到y轴距离的倒数，设函数y=ax²+bx图象的顶点为C．求顶点C的坐标．

分析（1）若函数y=-x+b图象和y=-x²+2x图象“共一点”P，则对应方程-x+b=-x²+2x根的判别式为0，可求出b的值，进而可求出点P的坐标；
（2）若函数y=-x+1图象和y=ax²+2x图象“共两点”，则对应方程-x+1=ax²+2x根的判别式需要大于0，进而可求出a的取值范围；
（3）设A的横坐标为m，因为A、B两点之间水平距离为2，则B的横坐标为m+2，根据两点之间垂直距离是A到y轴距离的倒数，则可得关于m的方程，解方程可求出m的值，进而可得到A，B的坐标，再把A，B坐标代入二次函数解析式可求出a和b的值，继而得到抛物线顶点C的坐标．

解答解：（1）∵函数y=-x+b图象和y=-x²+2x图象“共一点”，
∴-x+b=-x²+2x，且b²-4ac=9-4b=0．
∴b=$\frac{9}{4}$．
当b=$\frac{9}{4}$时，y=-x+$\frac{9}{4}$，-x+$\frac{9}{4}$=-x²+2x．
解得x=$\frac{3}{2}$，把x=$\frac{3}{2}$代入y=-x+$\frac{9}{4}$中，得y=$\frac{3}{4}$．
∴P坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）．
（2）∵函数y=-x+1图象和y=ax²+2x图象“共两点”，
∴对应方程-x+1=ax²+2x根的判别式需要大于0，
即9-4×a×（-1）＞0
解得：a＞-$\frac{9}{4}$，且a≠0．
故答案为：a＞-$\frac{9}{4}$，且a≠0；
（3）设A的横坐标为m，则B的横坐标为m+2，
∵A、B在y=$\frac{2}{x}$ 图象上，
∴A、B分别表示为（m，$\frac{2}{m}$），（m+2，$\frac{2}{m+2}$）．
∵两点之间垂直距离是A到y轴距离的倒数，
∴$\frac{2}{m}$-$\frac{2}{m+2}$=$\frac{1}{m}$．
解得m=2，经检验，m=2是原方程的根．
当m=2时，A、B分别为（2，1），（4，$\frac{1}{2}$），
∵A、B在函数y=ax²+bx图象上，
∴1=4a+2b，$\frac{1}{2}$=16a+4b．解得a=-$\frac{3}{16}$，b=$\frac{7}{8}$．
∴y=-$\frac{3}{16}$x²+$\frac{7}{8}$x，其顶点坐标C为（$\frac{7}{3}$，$\frac{49}{48}$）．