如图1.△ABC中.D.E.F三点分别在AB.AC.BC三边上.过点D的直线与线段EF的交点为点H.∠1+∠2=180°.∠3=∠C．(1)求证:DE∥BC,(2)在以上条件下.若△ABC及D.E两点的位置不变.点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化.保证点H存在且不与点F重合.记∠C=α.探究:要使∠1=∠BFH成立.∠DEF应满足何条件(可以是便于画出准确位置的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图1，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C．
（1）求证：DE∥BC；
（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，记∠C=α，探究：要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足何条件（可以是便于画出准确位置的条件）．直接写出你探究得到的结果，并根据它画出符合题意的图形．
（1）证明：
（2）要使∠1=∠BFH成立，∠DEF应满足∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$（或点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置）．

分析（1）欲证明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根据外角性质，将∠1转化为∠3+∠4，再根据∠1与∠2互补，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后将∠3=∠C代入即可得出结论；
（2）分两种情况讨论：①点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立；②当∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$时，∠1=∠BFH也成立．

解答解：（1）证明：如图1，∵∠1是△DEH的外角，
∴∠1=∠3+∠4．
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠4+∠2=180°，
∵∠3=∠C，
∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，
∴DE∥BC；

（2）分两种情况：
情况一：如图2，∵∠1是△DEH的外角，
∴∠1=∠3+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，
∴∠BFE=∠2+∠C，
当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②
由①②得，∠3+∠DEF=∠2+∠C，
∵∠3=∠C，
∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC
∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立．

情况二：如图2，∵∠1是△DEH的外角，∠C=α=∠3，
∴∠1=∠3+∠DEF=α+∠DEF，①
∵∠BFE是△CEF的外角，
∴∠2=∠BFE-∠C，
当∠1=∠BFH时，∠2=∠1-∠C=（∠3+∠DEF）-∠C，
∵∠C=α=∠3，
∴∠2=α+∠DEF-α=∠DEF，②
将①、②代入∠1+∠2=180°，可得：α+∠DEF+∠DEF=180°，
∴∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$，
∴当∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$时，∠1=∠BFH也成立．
综上所述，当∠DEF=90°-$\frac{α}{2}$（或点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置）时，∠1=∠BFH成立．