Question

7．2015年1-11月绵阳实现对外贸易进出口总值150.4亿元人民币，某新磁公司仓库现有1000吨磁性材料要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨磁性材料运送一千米所需的费用）：

厂别	运费（元/t•km）	路程（km）	需求量（t）
A	0.45	200	不超过650
B	a（a为常数）	150	不超过900

（1）写出总运费y（元）与运往A厂的磁性材料量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你运用函数有关知识，为该新磁公司设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用，经化简后可得出y与x的函数关系式；
（2）根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来算出所求的方案．

解答 解：（1）若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000-x）吨．
依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000-x）
=90x-150ax+150000a
=（90-150a）x+150000a，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x≤650}\\{1000-x≤900}\end{array}\right.$
解得：100≤x≤650．
故函数关系式为y=（90-150a）x+150000a，（100≤x≤650）．
（2）当0＜a＜0.6时，90-150a＞0，
∴当x=100时，y_最小=（90-150a）×100+150000a=135000a+9000．
此时，1000-x=1000-100=900．
当a＞0.6时，90-150a＜0，又因为运往A厂总吨数不超过600吨，
∴当x=650时，y_最小=（90-150a）×650+150000a=52500a+58500．
此时，1000-x=1000-650=350．
当a=0.6时，y=90000，
答：当0＜a＜0.6时，运往A厂100吨，B厂900吨时，总运费最低，最低运费（135000a+9000）元．
当a＞0.6时，运往A厂650吨，B厂350吨时，总运费最低，最低运费（52500a+58500）元．
当a=0.6时，运费90000元．

点评 本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．