随着襄阳市近几年城市建设的快速发展.对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木.根据市场调查与预测.种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系.如图1所示,种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系.如图2所示(注:利润与投资量的单位:万元)(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式,(2)如果这位专业� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．随着襄阳市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润y₂与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y₁与y₂关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以10万元资金投入种植花卉和树木，求他获得的最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，根据对市场需求的调查，这位专业户决定投入种植树木的资金不得高于投入种植花卉的资金，他至少获得多少利润？

分析（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值；
（3）由（2）知，他获得的利润Z=2（10-x）+$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$x²-2x+20=$\frac{1}{2}$（x-2）²+18由题意可知，x≥10-x，解得x≥5，所以5≤x≤8，由于当x≥2时，z随x的增大而增大，于是当x=5时，z有最小值22.5，所以这位专业户至少获得22.5万元的利润．

解答解：（1）设y₁=kx，由图①所示，函数y₁=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y₁关于投资量x的函数关系式是y₁=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y₂=ax²，
由图②所示，函数y₂=ax²的图象过（2，2），
∴2=a•2²，解得a=$\frac{1}{2}$，
故利润y₂关于投资量x的函数关系式是：y=$\frac{1}{2}$x²（x≥0）；

（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（10-x）万元，他获得的利润是z万元，
根据题意，得z=2（10-x）+$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$x²-2x+20=$\frac{1}{2}$（x-2）²+18，
当x=2时，z的最小值是18，
∵0≤x≤10，
∴-2≤x-2≤8，
∴（x-2）²≤64，
∴$\frac{1}{2}$（x-2）²≤32，
∴$\frac{1}{2}$（x-2）²+18≤50，
答：当x=10时，z的最大值是50；

（3）由（2）知，他获得的利润z=2（10-x）+$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$x²-2x+20=$\frac{1}{2}$（x-2）²+18，
由题意可知，x≥10-x，
解得x≥5，
所以5≤x≤10，
∵当x≥2时，z随x的增大而增大，
∴当x=5时，z有最小值22.5，
∴这位专业户至少获得22.5万元的利润．