Question

如图，△ABC在平面直角坐标系，点A（0，3

3

），B（-3，0），C（2，0），一动点由点A沿y轴负方向移动到某处点G，再沿GC到达点C，若由A到G的速度是GC方向速度的2倍，要使动点由A→G→C所用时间最短，那么此时点G的位置坐标是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,根的判别式,坐标与图形性质

专题：压轴题

分析：假设AG的速度为2，GC的速度为1，设G点为（0，y），则有AG=3

3

-y，根据勾股定理得到GC=

y2+4

，总时间=

1

2

AG+GC=

3 3

2

+

y2+4

-

1

2

y，依此只需要考虑t=

y2+4

-

1

2

y的最小值时y的取值，根据根的判别式得到t的最小值

3

，进一步即可求解．

解答：解：假设AG的速度为2，GC的速度为1，
设G点为（0，y），则有AG=3

3

-y，
GC=

y2+4

，
总时间=

1

2

AG+GC=

3 3

2

+

y2+4

-

1

2

y，
依此只需要考虑t=

y2+4

-

1

2

y的最小值时y的取值，
变形为t+

1

2

y=

y2+4

，
两边平方有t²+yt+

1

4

y²=y²+4，

3

4

y²-ty+4-t²=0，
△=t²-3（4-t²）=4t²-12≥0，
解得t≥

3

（t≤-

3

舍去）
所以t的最小值

3

，
此时关于y的方程有2个相等的根，
所以2y=

t

3 4

=

4

3

t，
所以y=

2

3

t=

2 3

3

，
所以点G的坐标是（0，

2 3

3

）．
故答案为：（0，

2 3

3

）．

点评：考查了勾股定理，根的判别式，解题的关键是得到t的最小值

3

．