Question

6．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）试判断△CHF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质，可求得∠BCE=∠ACD，结合BC=AC，CE=CD，可证明△BCE≌△ACD；
（2）可先证明△BCF≌△ACH，可求得CF=CH，且∠FCH=60°，可证△CHF为等边三角形．

解答 （1）证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）解：△CHF为等边三角形，
理由如下：由（1）可知△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH，BC=AC．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAH}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACH}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH，
∵∠FCH=60°，
∴△CHF是等边三角形．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．