Question

5．已知二次函数y=-x²+（a-2）x+3，当x＞2时y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程$\frac{a-x}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$的解是自然数，则符合条件的整数a的和是（　　）

• A． 3
• B． 8
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 由二次函数的增减性可求得对称轴，可求得a取值范围，再求分式方程的解，进行求解即可．

解答 解：
∵y=-x²+（a-2）x+3，
∴抛物线对称轴为x=$\frac{a-2}{2}$，开口向下，
∵当x＞2时y随着x的增大而减小，
∴$\frac{a-2}{2}$≤2，解得a≤8，
解关于x的分式方程$\frac{a-x}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$可得x=$\frac{a+1}{2}$，
∵分式方程的解是自然数，
∴a+1是2的倍数的自然数，
∴符合条件的整数a为：1、3、5、7，
∴符合条件的整数a的和为：1+3+5+7=16，
故选D．

点评 本题主要考查二次函数的性质，由二次函数的性质求得a的取值范围是解题的关键．