Question

18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，E是AD中点，过A作AF∥BC
①求证：△AEF≌△DEB；
②求证：四边形ADCF是菱形；
③若AB=5，AC=4，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

分析 ①根据AAS证△AFE≌△DBE；
②利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD=DC，从而得出结论．
③由三角形中线的性质和菱形的性质得出△ABD的面积=△ACD的面积=△ACF的面积，得出菱形ADCF的面积=Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC，即可得出答案．

解答 ①证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AEF和△DEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}&{\;}\\{∠FEA=∠BED}&{\;}\\{AE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
②证明：由①知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形．
③解：∵D是BC的中点，四边形ADCF是菱形，
∴△ABD的面积=△ACD的面积=△ACF的面积，
∴菱形ADCF的面积=Rt△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×5×4=10．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用；熟练掌握菱形与平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．