题目内容
9、设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．
分析：由于本题从正面很难证明，故应用反证法，假定存在正整数a，b，使得a2=pb2，再由整数的整除性性质7可得出结论．
解答：解：证明：用反证法．假定存在正整数a，b，使得
a2=pb2，
令（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，则（a1，b1）=1．所以a12d2=pb12d2，a12=pb12，
所以p|a12，
由于p是质数，p|a1，令a1=pa2，则a22，p2，所以pa22=b12，同理可得，p|b1，即a1、b1都含有p这个因子，这与（a1，b1）=1矛盾，
故满足a2=pb2的正整数a，b不存在．
a2=pb2，
令（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，则（a1，b1）=1．所以a12d2=pb12d2，a12=pb12，
所以p|a12，
由于p是质数，p|a1，令a1=pa2，则a22，p2，所以pa22=b12，同理可得，p|b1，即a1、b1都含有p这个因子，这与（a1，b1）=1矛盾，
故满足a2=pb2的正整数a，b不存在．
点评：本题考查的是整数的整除性问题，即若c|ab，且（c，a）=1，则c|b．特别地，若p是质数，且p|ab，则p|a或p|b．
练习册系列答案
相关题目