Question

16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$时，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=$\sqrt{2}$OA．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得．

解答 （1）解：∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$；

（2）证明：∵DE平分∠CDB，
∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，
∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$OA，
∴AF=$\sqrt{2}$OA．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．