Question

19．有一列数：第一个数为x₁=1，第二个数为x₂=4，第三个数开始依次记为x₃，x₄，…；从第二个数开始，每个数是它相邻两数和的一半（x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$）．
（1）求第三、四、五个数，并写出计算过程；
（2）探索这一列数的规律，猜想第k个数x_k等于什么（k是大于2的整数）？并由此算出x₂₀₁₃是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，可得x₃=2x₂-x₁，据此求出x₃是多少；然后根据x₃=$\frac{{x}_{2}{+x}_{4}}{2}$，求出x₄是多少；最后根据${x}_{4}=\frac{{x}_{3}{+x}_{5}}{2}$，求出x₅是多少即可；
（2）根据x₁=1=3×1-1，x₂=4=3×2-2，…，猜想第k个数x_k=3k-2，然后把k=2013代入，求出x₂₀₁₃是多少即可．

解答 解：（1）因为x₂=$\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，
所以x₃=2x₂-x₁=2×4-1=7；
因为x₃=$\frac{{x}_{2}{+x}_{4}}{2}$，
所以x₄=2x₃-x₂=2×7-4=10；
因为${x}_{4}=\frac{{x}_{3}{+x}_{5}}{2}$，
所以x₅=2x₄-x₃=2×10-7=13．
即第三个数是7，第四个数是10，第五个数是13．

（2）因为x₁=1=3×1-1，x₂=4=3×2-2，x₃=7=3×3-2，x₄=10=3×4-2，…，
所以猜想第k个数x_k=3k-2，
所以x₂₀₁₃=3×2013-2=6037．

点评 （1）此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第k个数x_k=3k-2．
（2）此题还考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是判断出相邻两个数的差都是3．