题目内容
如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时PQ平行于BC；
（2）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）可求得BC=6，且PB=AQ=2t，AP=10-2t，当PQ∥BC时，可得
=
，代入可得到关于t的方程，可求得t；
（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到对应线段的比相等，可得到关于t的方程，代入分别求得t即可；
（3）周长相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，则
=
，可用t表示出PD，进一步可表示出其面积，令其为△ABC面积的一半即可，可求出t的值，注意结合t的取值范围进行取舍．
| AP |
| AB |
| AQ |
| AC |
（2）分PQ⊥AC和PQ⊥AB，再利用相似得到对应线段的比相等，可得到关于t的方程，代入分别求得t即可；
（3）周长相等，即AP+AQ=PB+BC+CQ，代入可得到关于t的方程，可求得t的值；
（4）过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，则
| PD |
| BC |
| AP |
| AB |
解答：解：∵∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，
∴BC=6cm，
∵P、Q的运动速度为2cm/s，
∴PB=AQ=2t，则AP=10-2t，
（1）当PQ∥BC时，则
=
，即
=
，解得t=
，
即当
s时PQ∥BC；
（2）∵△ABC为直角三角形，
∴当△APQ和△ABC相似时，必有一个角为直角，
当∠AQP=90°时，则PQ∥BC，由（1）可知t=
，
当∠APQ=90°时，则
=
，即
=
，解得t=
，
∴当t为
或
时△APQ和△ABC相似；
（3）不存在．理由如下：
当线段PQ恰好把△ABC的周长平分时，则有AP+AQ=PB+BC+CQ，
即10-2t+2t=2t+6+8-2t，整理得10=14，显然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周长平分的t；
（4）存在．
如图，过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，
∴
=
，即
=
，解得PD=
，
∴S△APQ=
AQ•PD=
×2t×
=
，
且S△ABC=
AC•BC=
×8×6=24，
当线段PQ恰好把△ABC的面积平分时，则有S△APQ=
S△ABC，
即
=12，整理可得t2-15t+30=0，
解得t=
＞4（舍去）或t=
，
∴当t=
时，线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
∴BC=6cm，
∵P、Q的运动速度为2cm/s，
∴PB=AQ=2t，则AP=10-2t，
（1）当PQ∥BC时，则
| AP |
| AB |
| AQ |
| AC |
| 10-2t |
| 10 |
| 2t |
| 8 |
| 20 |
| 9 |
即当
| 20 |
| 9 |
（2）∵△ABC为直角三角形，
∴当△APQ和△ABC相似时，必有一个角为直角，
当∠AQP=90°时，则PQ∥BC，由（1）可知t=
| 20 |
| 9 |
当∠APQ=90°时，则
| AP |
| AC |
| AQ |
| AB |
| 10-2t |
| 8 |
| 2t |
| 10 |
| 25 |
| 9 |
∴当t为
| 20 |
| 9 |
| 25 |
| 9 |
（3）不存在．理由如下：
当线段PQ恰好把△ABC的周长平分时，则有AP+AQ=PB+BC+CQ，
即10-2t+2t=2t+6+8-2t，整理得10=14，显然不成立，
∴不存在使PQ把△ABC周长平分的t；
（4）存在．
如图，过P作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，
∴
| PD |
| BC |
| AP |
| AB |
| PD |
| 6 |
| 10-2t |
| 10 |
| 30-2t |
| 5 |
∴S△APQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 30-2t |
| 5 |
| 30t-2t2 |
| 5 |
且S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当线段PQ恰好把△ABC的面积平分时，则有S△APQ=
| 1 |
| 2 |
即
| 30t-2t2 |
| 5 |
解得t=
15+5
| ||
| 2 |
15-5
| ||
| 2 |
∴当t=
15-5
| ||
| 2 |
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用时间和速度表示出线段的长度，结合条件得到关于t的方程是解决这类问题的解题思路，即化动为静．在（2）中注意只有相似但没有对应需要分情况讨论．
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相关题目
在△ABC中，∠A=
∠B=
∠C，则此三角形是（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| A、锐角三角形 |
| B、直角三角形 |
| C、钝角三角形 |
| D、等腰三角形 |
已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE．
如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是劣弧