Question

6．如图，直线l过点A（4，0）和点B（0，4），它与二次函数y=ax²+2的图象交于点P，若△AOP的面积为$\frac{9}{2}$．求二次函数的表达式．

Answer 1

分析 根据直线l经过点A、B，可求出直线l的解析式．设l的解析式为y=ax+b，将（4，0），（0，4）代入，根据待定系数法解答；根据△OAP的面积和P在直线上，可求出P点坐标，将P点坐标代入二次函数y=ax²+2，列方程求出a值即可．

解答 解：∵直线l与两坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，4），
∴直线l的函数表达式为y=-x+4，
设点P的坐标为（m，4-m），
∵△AOP的面积为$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×4×（4-m）=$\frac{9}{2}$，
∴m=$\frac{7}{4}$．
∵点P在直线l上，
∴P点坐标为（$\frac{7}{4}$，$\frac{9}{4}$）．
∵点P在抛物线y=ax²+2上，
∴$\frac{49}{4}$a+2=$\frac{9}{4}$，
解得：a=$\frac{1}{49}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{49}$x²+2．

点评 此题考查待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数和二次函数的一些基本特征，正确设函数的解析式，然后是将点的坐标代入求解．