Question

15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-2mx+m²-m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（-3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由y=x²-2mx+m²-m+2=（x-m）²-m+2，于是得到结论；
（2）由于抛物线经过点B（1，m），得方程于是得到结论；
（3）根据题意得到线段AB：y=m（-3≤x≤1），与y=x²-2mx+m²-m+2联立得到x²-2mx+m²-2m+2=0，令y′=x²-2mx+m²-2m+2，若抛物线y=x²-2mx+m²-m+2与线段AB只有1个公共点，于是得到结论．

解答 解：（1）∵y=x²-2mx+m²-m+2=（x-m）²-m+2，
∴D（m，-m+2）；

（2）∵抛物线经过点B（1，m），
∴m=1-2m+m²-m+2，
解得：m=3或m=1；

（3）根据题意：∵A（-3，m），B（1，m），
∴线段AB：y=m（-3≤x≤1），
与y=x²-2mx+m²-m+2联立得：
x²-2mx+m²-2m+2=0，
令y′=x²-2mx+m²-2m+2，
若抛物线y=x²-2mx+m²-m+2与线段AB只有1个公共点，
即函数y′在-3≤x≤1范围内只有一个零点，
当x=-3时，y′=m²+4m+11＜0，
∵△＞0，
∴此种情况不存在，
当x=1时，y′=m²+4m+3＜0，
解得1≤m＜3．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．