Question

13．观察、思考、解答：
（$\sqrt{2}$-1）²=（$\sqrt{2}$）²-2×1×$\sqrt{2}$+1²=2-2$\sqrt{2}$+1=3-2$\sqrt{2}$
反之3-2$\sqrt{2}$=2-2$\sqrt{2}$+1=（$\sqrt{2}$-1）²
∴3-2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$-1）²
∴$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1
（1）仿上例，化简：$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$；
（2）若$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$=$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
（3）已知x=$\sqrt{4-\sqrt{12}}$，求（$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x+2}$）•$\frac{{x}^{2}-4}{2（x-1）}$的值（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）根据题目中的例题可以解答本题；
（2）根据题目中的例题，可以将$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$=$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$变形，从而可以得到m、n、a、b的关系；
（3）先化简x，然后再化简所求的式子，再将x的值代入即可解答本题．

解答 解：（1）$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}$=$\sqrt{（\sqrt{5}-1）^{2}}=\sqrt{5}-1$；

（2）a=m+n，b=mn，
理由：∵$\sqrt{a+2\sqrt{b}}$=$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$，
∴$a+2\sqrt{b}=m+2\sqrt{mn}+n$，
∴a=m+n，b=mn；

（3）∵x=$\sqrt{4-\sqrt{12}}$=$\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}=\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}}=\sqrt{3}-1$，
∴（$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x+2}$）•$\frac{{x}^{2}-4}{2（x-1）}$
=$\frac{x+2+x-2}{（x-2）（x+2）}•\frac{（x-2）（x+2）}{2（x-1）}$
=$\frac{2x}{（x-2）（x+2）}•\frac{（x-2）（x+2）}{2（x-1）}$
=$\frac{x}{x-1}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1-1}$
=$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-2}$
=$\frac{（\sqrt{3}-1）（\sqrt{3}+2）}{（\sqrt{3}-2）（\sqrt{3}+2）}$
=-1-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．