Question

6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．
（1）求证：BD=DC．
（2）若∠BAC=40°，求$\widehat{BD}$，$\widehat{DE}$，$\widehat{AE}$的度数．

Answer 1

分析 （1）连接BE、AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据直径得出∠BEA=∠ADB=90°，求出∠ABE、∠DAB、∠DAC的度数，根据圆周角定理求出即可．

解答 解：连接BE、AD，
∵AB是圆的直径，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-40°=50°，
AD⊥BC，
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=20°，
∴由圆周角定理得：弧BD所对的圆心角的度数是2∠DAB=40°，
弧DE所对的圆心角的度数是2∠DAE=40°，
弧AE所对的圆心角的度数是2∠BAE=80°．

点评 题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半．