Question

6．图中两个正方形的中心重合，小正方形的顶点A、C两点在大正方形的对角形上，△HAC是等边三角形，若AB=2，则大正方形的边长为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先在小正方形中，求出OC的长，再在等边三角形△HAC中求出OH，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵△HAC是等边三角形，
∴∠AHO=∠CHO=30°，
在Rt△HOC中，OH=OC•tan60°=$\sqrt{6}$，
∵四边形EFGH是正方形，
∴OH=OG=$\sqrt{6}$，HO⊥OG，
∴在Rt△HOG中，HG=$\sqrt{O{H}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握正方形、等边三角形的性质，属于中考常考题型．