Question

已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，CE、DF交于M．
（1）试判断CE和DF的关系，并证明；
（2）求证：AM=AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质，可得BC与AB的关系，∠B与∠DCB的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）延长DA、CE相交于点G，根据相似三角形对应边成比例可以求出AG=

1

2

GD，从而得到点A是GD的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明

解答：（1）CE=DF，CE⊥DF，
证明：四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴BE=CF．
在△BCE和△CDF中，

BE=CF ∠B=∠FCD BC=CD

，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴CE=DF．
∴∠ECB=∠FDC．
∵∠FDC+∠DFC=90°，
∴∠MFC+∠FCM=90°，
∴∠FMC=90°，
∴CE⊥DF；
（2）证明：如图，延长DA、CE相交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△GAE∽△GDC，
∴

GA

GD

=

AE

CD

，
∵E是正方形ABCD边AB的中点，
∴CD=AB=2AE，
∴

GA

GD

=

1

2

，
即GA=

1

2

GD，
∴点A是GD的中点，
又∵DF⊥CE于点M，
∴AM=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定；相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．