Question

20．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则sin∠APB的值是$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=$\frac{3}{2}$r．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=$\frac{2}{3}$FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值，进而可求出sin∠APB的值．

解答 解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．
∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，
∴PA=PB=$\frac{3}{2}$r．
在Rt△PBF和Rt△OAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠FBP}\\{∠OFA=∠PFB}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBF∽Rt△OAF．
∴$\frac{AF}{FB}=\frac{AO}{BP}$=$\frac{r}{\frac{3}{2}r}$=$\frac{2}{3}$，
∴AF=$\frac{2}{3}$FB，
在Rt△FBP中，
∵PF²-PB²=FB²
∴（PA+AF）²-PB²=FB²
∴（$\frac{3}{2}$r+BF）²-（$\frac{3}{2}$r）²=BF²，
解得BF=$\frac{18}{5}$r，
∴tan∠APB=$\frac{BF}{PB}$=$\frac{12}{5}$，
∴sin∠APB=$\frac{12}{13}$，
故答案为：$\frac{12}{13}$．

点评 本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系，求出tan∠APB的值．