如图1.抛物线y=$\frac{1}{3}$x2+bx+c经过A.B两点.点C在y轴上.△ABC为等边三角形.点D从点A出发.沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.设运动时间为t秒.过点D作DE⊥AC于点E.以DE为边作矩形DEGF.使点F在x轴上.点G在AC或AC的延长线上．(1)求抛物线的解析式,(2)将矩形DEGF沿GF所在直线翻折.得矩形D'E'GF.当点D的对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图1，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过A（-2$\sqrt{3}$，0）、B（0，-2）两点，点C在y轴上，△ABC为等边三角形，点D从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒（t＞0），过点D作DE⊥AC于点E，以DE为边作矩形DEGF，使点F在x轴上，点G在AC或AC的延长线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形DEGF沿GF所在直线翻折，得矩形D'E'GF，当点D的对称点D'落在抛物线上时，求此时点D'的坐标；
（3）如图2，在x轴上有一点M（2$\sqrt{3}$，0），连接BM、CM，在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形ABMC重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

分析（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）由等边三角形的性质可知∠BAC=60°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE=t，DE=$\sqrt{3}$t，AF=2$\sqrt{3}$t，然后再证明AD=DF=2t，过点D′作D′H⊥x轴与点H，接下来，再求得点D′的坐标，最后将点D′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，S=ED•DF；当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，S=矩形DEGF的面积-△CGN的面积．

解答解：（1）把A（-2$\sqrt{3}$，0）、B（0，-2）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{\frac{1}{3}×12-2\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-2}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．
（2）A（-2$\sqrt{3}$，0）、B（0，-2），
∴OA=2$\sqrt{3}$，OB=2．
∵AD=2t，∠DEA=90°，∠BAC=60°，
∴AE=t，DE=$\sqrt{3}$t．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵AO⊥BC，
∴∠CAO=∠BAO=30°．
∵四边形DEGF为矩形，
∴DF∥AC，GF=DE=$\sqrt{3}$t．
∴∠DFA=∠CAO=30°，
∴AF=2GF=2$\sqrt{3}$t．
∴∠DFA=∠BAO=30°．
∴DF=AD=2t．
过点D′作D′H⊥x轴与点H．

∵∠D′FH=∠AFD=30°，
∴D′H=$\frac{1}{2}$D′F=t，FH=$\sqrt{3}$D′H=$\sqrt{3}$t．
∴AH=AF+FH=3$\sqrt{3}$t．
∴OH=AH-AO=3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$．
∴D′（3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，t）．
把点D′（3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，t）代入y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2得：t=$\frac{1}{3}$（3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）-2．整理得：9t²-10t=0，
解得t=$\frac{10}{9}$或t=0（舍去）．
∴D′（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{10}{9}$）．
（3）由（2）可知：DE=$\sqrt{3}$t，DF=2t，AE=t．
如图2所示：当AE+EG≤AC时，即t+2t≤4，解得：t≤$\frac{4}{3}$．

∴当0＜t≤$\frac{4}{3}$时，S=ED•DF=2$\sqrt{3}$t²．
当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，如图3所示：

∵CG=AG-AC，
∴CG=3t-4，
∴GN=3$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$．
∴S=ED•DF-$\frac{1}{2}$CG•GN=2$\sqrt{3}$t²-$\frac{1}{2}$（3t-4）×$\sqrt{3}$（3t-4）=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+12$\sqrt{3}$t-8$\sqrt{3}$．
综上所述，S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}{t}^{2}（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12\sqrt{3}t-8\sqrt{3}（\frac{4}{3}＜t≤2）}\end{array}\right.$．