Question

6．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形．
（1）如图1，求证：BE=DC．
（2）如图2，若H，G分别为DC，BE的中点，试探究当∠BAC的度数发生变化时，∠AGH的度数是否发生变化．若不变，请求出∠AGH的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，设BE，DC交于P，连接AP．式子①$\frac{PB+PC+2PA}{PD+PE}$和②$\frac{PB+PC+PA}{PD+PE}$中仅有一个的值为定值，请找出其中为定值的式子，求出其值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形全等的判定方法，判断出△BAE≌△DAC，即可判断出BE=DC．
（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ABG≌△ADH，即可判断出AH=AG，∠BAG=∠DAH；然后判断出∠HAG=60°，即可判断出△AHG是等边三角形，进而判断出∠AGH≡60°，∠AGH的度数不变即可．
（3）首先根据三角形全等的判定方法，判断出△BAE≌△DAC，即可判断出∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD；然后根据三角形全等的判定方法，判断出△ADG≌△ABP，即可判断出∠DAG=∠BAP，AG=AP，进而判断出△PAG为等边三角形；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△CAG≌△EAP，即可判断出CG=PE，所以PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA，所以$\frac{PB+PC+2PA}{PD+PE}$=1，据此解答即可．

解答 （1）证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴∠CAE=∠DAB=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=DA}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴BE=DC．

（2）如图2，连接AH，
，
∵△BAE≌△DAC，
∴∠ABE=∠ADC，BE=DC，
∵H，G分别为DC，BE的中点，
∴BG=DH，
在△ABG和△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABG=∠ADH}\\{BG=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADH，
∴AH=AG，∠BAG=∠DAH，
∵∠DAH+∠HAB=60°，
∴∠BAG+∠HAB=60°，
即∠HAG=60°，
∴△AHG是等边三角形，
∴∠AGH≡60°，∠AGH的度数不变．

（3）如图3，在DC上截取DG=BP，连接AG，
，
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴∠CAE=∠DAB=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=DA}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC，
∴∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，
在△ADG和△ABP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{DG=BP}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABP，
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP，
∵∠DAG+∠BAG=60°，
∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°，
∴△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，
∴PA=PG，
在△CAG和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AP}\\{∠CAG=∠EAP}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAG≌△EAP，
∴CG=PE，
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA，
∴$\frac{PB+PC+2PA}{PD+PE}$=1．

点评 （1）此题主要考查了三角形全等的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．