Question

3．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求证：MN=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

Answer 1

分析 延长AM、AN分别交BC于点F、G，根据BN为∠ABC的角平分线，AN⊥BN得出∠BAN=∠G，故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=MF，根据三角形中位线定理即可得出结论．

解答 证明：延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：
∵BN为∠ABC的角平分线，
∴∠CBN=∠ABN，
∵BN⊥AG，
∴∠ABN+∠BAN=90°，∠G+∠CBN=90°，
∴∠BAN=∠AGB，
∴AB=BG，
∴AN=GN，
同理AC=CF，AM=MF，
∴MN为△AFG的中位线，GF=BG+CF-BC，
∴MN=$\frac{1}{2}$（AB+AC-BC）．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．