题目内容
如图，△ABC是等腰直角三角形，C是直角顶点．（1）操作并观察：将三角尺90°角的顶点与AB的中点O重合，使三角尺的两个直角边分别与AC，BC交于点E，F，然后将这个角绕点O旋转（点E，F不与点A，B，C重合），观察在旋转的过程中点E，F的位置变化，并判断在AE，EF，FB这三条线段中，最大者是否始终为EF？
（2）探索：AE，EF，FB这三条线段能否组成一个以EF为斜边的直角三角形？若能，试给出证明，否则加以说明．
考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形
专题：
分析：（1）将△FOB绕点O顺时针方向旋转180°得到△AOG，根据旋转的性质得出△FOB≌△GOA，根据全等的性质及直角三角形斜边最大即可解题；
（2）根据（1）中结论即可证明AE，EF，FB这三条线段能组成一个以EF为斜边的直角三角形．
（2）根据（1）中结论即可证明AE，EF，FB这三条线段能组成一个以EF为斜边的直角三角形．
解答：解：（1）线段EF始终最大，证明如下：
将△FOB绕点O顺时针方向旋转180°，如图，
∵O是BC的中点，
∴点B旋转后与点A重合，△FOB≌△GOA，∠FBO=GAO，OF=OG，FB=GA，
连接GA、EG，
在△EOG和△EOF中，
，
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EF=EG，
在△EAG中，∠EAG=∠EAO+∠GAO=∠EAO+∠FBO=90°，
∵EG是Rt△EAG斜边，
∴EG＞EA，EG＞AG，
∴AE、EF、FB三条线段中，EF的长度始终最大；
（2）根据（1）中可知AG=FB，EF=FG，
且△AEG为直角三角形，
则AE，EF，FB这三条线段能组成一个以EF为斜边的直角三角形．
将△FOB绕点O顺时针方向旋转180°，如图，
∵O是BC的中点，
∴点B旋转后与点A重合，△FOB≌△GOA，∠FBO=GAO，OF=OG，FB=GA，
连接GA、EG，
在△EOG和△EOF中，
|
∴△EOG≌△EOF（SAS），
∴EF=EG，
在△EAG中，∠EAG=∠EAO+∠GAO=∠EAO+∠FBO=90°，
∵EG是Rt△EAG斜边，
∴EG＞EA，EG＞AG，
∴AE、EF、FB三条线段中，EF的长度始终最大；
（2）根据（1）中可知AG=FB，EF=FG，
且△AEG为直角三角形，
则AE，EF，FB这三条线段能组成一个以EF为斜边的直角三角形．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOG≌△EOF是解题的关键．
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