题目内容
4．对于点E和四边形ABCD，给出如下定义：在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，则称E为四边形ABCD边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们称E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．（1）如图1，在四边形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，点E是AB边上一点，∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD边AB上的相似点，并证明你的结论正确；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，AD=3．
①在AB边上是否存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”．若存在，有几个？试在图2中画出所有强相似点；
②在①所画图形的基础上求AE的长．
分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解；
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；②连接DE、CE．设AE=x，则EB=8-x，AD=3，根据点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．得到△ADE∽△BCE，于是得到$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，代入相关数据$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{3}$，解方程即可得到结果．
解答 
解：（1）由图可知，∠A=∠B=45°，
∵∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．
（2）①如图1所示，在AB边上存在点E，使点E为四边形ABCD边AB上的“强相似点”，这样的点有2个，点E，E′即为所求；
②连接DE、CE．
设AE=x，
∴EB=8-x，AD=3，
∵点E是四边形ABCD边AB上的“强相似点”．
∴△ADE∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BC}$，
∵AD=BC=3，
∴$\frac{3}{8-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x=4±$\sqrt{7}$，
∴AE=4+$\sqrt{7}$或AE=4-$\sqrt{7}$．
点评 本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，读懂题目信息，理解强相似点的定义是解题的关键．
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