Question

1．现有一根长为1的铁丝．如图，

①若把它围成图1所示的矩形框，当矩形框的长a与矩形框的宽b满足$\frac{a}{b}$=1时所围成的矩形框面积最大；
②若把它围成图2所示的矩形框，当矩形框的长a与矩形框的宽b满足$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$时所围成的矩形框面积最大；
③若把它围成图n所示的矩形框（图中共有n+1条宽），当矩形框的长a与矩形框的宽b满足$\frac{a}{b}$=$\frac{n+1}{2}$时所围成的矩形框面积最大．

Answer 1

分析 （1）根据长度为1，可得出a与b的关系式，然后可表示出图1的面积，利用正方形面积最大求出即可；
（2）根据长度为1，可得出a与b的关系式，然后可表示出图2的面积，利用配方法求最值即可；
（3）利用（2）中所求方法即可得出答案．

解答 解：根据题意：①中有2（a+b）=1，且s=ab的最大值当且仅当矩形为正方形时，即a=b时所围成的矩形框面积最大，即$\frac{a}{b}$=1．
故答案为：1；

②有2个a，有3个b，则2a+3b=1，故b=$\frac{1-2a}{3}$，当且仅当矩形为正方形时，s=ab=$\frac{-2{a}^{2}+a}{3}$=-$\frac{2}{3}$（a-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{24}$，
则b=$\frac{1}{6}$，故$\frac{a}{b}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}}$=$\frac{3}{2}$时S取得最大值．
故答案为：$\frac{3}{2}$；

③如图，有2个a，有（n+1）个b，故当且仅当矩形为正方形时，即（n+1）b=2a时，s=ab取得最大值，即$\frac{a}{b}$=$\frac{n+1}{2}$．
故答案为：$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据铁丝长度为1得出a与b的关系式，注意掌握配方法求函数的最值，难度一般．