Question

2．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

解答 解：如图1所示：

作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，
∴DQ是△AA′E′的中位线，
∴DQ=$\frac{1}{2}$AE′=2；CQ=DC-CQ=3-2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，
∴$\frac{BP}{AA′}$=$\frac{BE′}{AE′}$，即$\frac{BP}{6}$=$\frac{1}{4}$，BP=$\frac{3}{2}$，CP=BC-BP=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
S_{四边形AEPQ}=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△PCQ-S_BEP
=9-$\frac{1}{2}$AD•DQ-$\frac{1}{2}$CQ•CP-$\frac{1}{2}$BE•BP
=9-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$
=$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．