Question

已知a、b、c均为正数，满足以上条件

a+b+c=32…① b+c-a bc + a+c-b ac + a+b-c ab = 1 4 …②

 
证明：以

a

，

b

，

c

为三边长可构成一个直角三角形．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理

专题：证明题

分析：利用已知条件求出a=16，或b=16，或c=16，由a+b+c=32，得出b+c=a，或a+c=b，或a+b=c，根据勾股定理的逆定理即可证明以

a

，

b

，

c

为三边长可构成一个直角三角形．

解答： 证明：将①代入②，得

32-2a

bc

+

32-2b

ac

+

32-2c

ab

=

1

4

，
两边同乘abc，整理得，1024-2（a²+b²+c²）=

1

4

abc ③，
由①得（a+b+c）²=1024，即a²+b²+c²=1024-2（ab+bc+ca），
代入③，得1024-2[1024-2（ab+bc+ca）]=

1

4

abc，
即abc=16（ab+bc+ca）-4096，
（a-16）（b-16）（c-16）=abc-16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）-16³
=-4096+256×32-16³=0，
所以a=16，或b=16，或c=16，
∵a+b+c=32，
∴b+c=a，或a+c=b，或a+b=c，
∴以

a

，

b

，

c

为三边长可构成一个直角三角形．

点评：本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．同时考查了分式的运算，求出a=16，或b=16，或c=16是解题的关键．本题的计算难度较大．