Question

4．如图所示，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，则重叠部分（△DGH）的面积为$\frac{75}{16}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理计算出AB=10，则AD=5，再证明G点为AH的点，然后证明△AHD∽△ABC，则利用相似比计算出HD=$\frac{15}{4}$，所以S_△ADH=$\frac{75}{8}$，于是得到S_△HGD=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{75}{16}$．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵D点为AB的中点，
∴AD=5，
∵△ABC≌△FDE，
∴∠B=∠1，
∵ED⊥AB，
∴∠A+∠2=90°，
而∠A+∠B=90°，
∴∠1=∠2，
∴GH=GD，
∵∠3+∠1=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠A=∠3，
∴AG=DG，
∴AG=HG，
∵∠HAD=∠BAC，
∴△AHD∽△ABC，
∴$\frac{HD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{HD}{6}$=$\frac{5}{8}$，解得HD=$\frac{15}{4}$，
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$•5•$\frac{15}{4}$=$\frac{75}{8}$，
∴S_△HGD=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{75}{16}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．