Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=24，AD=16．动点P从点C出发，沿射线CB的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位长的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△DPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）当t为何值时，△PDQ为直角三角形？

Answer 1

考点：直角梯形,直角三角形的性质,平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）S_△QDP=

1

2

DQ•AB，由题意知：AQ=t，DQ=AD-AQ=16-t，将DQ和AB的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，PC=DQ，即16-t=2t，可将t求出；
（3）分三种情况讨论：①当PQ⊥QD时，即AQ=BP，即可得t；②当PD⊥QD时，即AD=BP，即可得t；③当PQ⊥PD时，过点P作PE⊥AD于E，利用△PQE∽△DPE，可得边长的相似比，可求得t值不存在．

解答：解：（1）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=24，AB=6，AD=16，
依题意AQ=t，PC=2t，则DQ=16-t，BP=24-2t，
过点P作PE⊥AD于E，
则四边形ABPE是矩形，PE=AB=12，
∴S_△DPQ=

1

2

DQ•AB=

1

2

（16-t）×12=-6t+96．

（2）当四边形PCDQ是平行四边形时，PC=DQ，
∴16-t=2t，
解得：t=

16

3

，
∴当t=

16

3

时，四边形PCDQ是平行四边形．

（3）若△PDQ为直角三角形，则分三种情况讨论：
①当PQ⊥QD时，即AQ=BP，
即t=24-2t，
解得：t=8．
②当PD⊥QD时，即AD=BP，
即16=24-2t，
解得：t=4．
③当PQ⊥PD时，过点P作PE⊥AD于E，
易得△PQE∽△DPE
即

QE

PE

=

PE

DE

，
∵QE=AE-AQ=BP-AQ=24-2t-t=24-3t，
DE=AD-AE=AD-BP=16-（24-2t）=2t-8，
∴

24-3t

6

=

6

2t-8

化简得：t²-12t+38=0
故t不存在．
综合①②③，可得t=4、8时，△PDQ为直角三角形．

点评：本题主要考查直角梯形、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，在解题过程中要注意数形结合，并且要理解△PDQ为直角三角形，应分：当PQ⊥QD时、②当PD⊥QD时、③当PQ⊥PD时，三种情况进行讨论．