阅读下文.回答问题:已知x≠1.观察下列各式:=1-x2．(1-x)(1+x+x2)=1-x3.(1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4-( )=1-x8．(2)观察上式.并猜想:①(1-x)(1+x+x2+-+xn)= ,②(x-1)(x10+x9+-+x+1)= ,(3)根据你的猜想.①计算:1+2+22+23+24+25+26．②探究:1+2+22+23+24+-+22015的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

阅读下文，回答问题：
已知x≠1，观察下列各式：（1-x）（1+x）=1-x²．
（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）填空：（1-x）（

）=1-x⁸．
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=

；
（3）根据你的猜想，
①计算：1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶．
②探究：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵的结果的个位数字是多少？

考点：整式的混合运算

专题：规律型

分析：（1）根据已知等式，归纳总结得到规律，写出即可；
（2）利用得出的规律，计算即可得到结果；
（3）①原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果；
②归纳总结得到幂的个数数字规律，即可得出结果的个数数字．

解答：解：（1）根据题意得：（1-x）（1+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸；
（2）①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=-（1-x）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=-（1-x¹¹）=x¹¹-1；
（3）①原式=（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=1-2⁷=-127；
②2¹=2；2²=4；2³=8；2⁴=16；
2⁵=32；2⁶=64；2⁷=128；2⁸=256；
以此类推，结果个位数字以2，4，8，6循环，
∵2016÷4=504，
∴2²⁰¹⁶的个位数字为6，
原式=（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁵）=1-2²⁰¹⁶，结果个位数字为5．
（1）1+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷；（2）①1-xⁿ⁺¹；②x¹¹-1

点评：此题考查了整式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．