Question

6．如图，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心BC为半径画圆交BA延长线于点D，连接DC并延长交圆C于点E，过点B作DE的垂线BF，垂足为点F，那么线段BF的长度为（　　）

• A． $\frac{18}{5}$
• B． 3.5
• C． $\frac{19}{5}$
• D． $\frac{96}{25}$

Answer 1

分析 连接BE，由DE是⊙C的直径，得到∠DBE=90°，根据勾股定理得到AB=5，DE=8，根据相似三角形的性质得到BE=$\frac{24}{5}$，由勾股定理得到BD=$\sqrt{D{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接BE，
∵DE是⊙C的直径，
∴∠DBE=90°，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，DE=8，
∵CD=CB，
∴∠D=∠ABC，
∴△ABC∽△EDB，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{BE}$，即$\frac{5}{8}=\frac{3}{BE}$，
∴BE=$\frac{24}{5}$，
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∵BF⊥DE，
∴△BFE∽△DBE，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{BE}{DE}$，
∴BF=$\frac{\frac{32}{5}×\frac{24}{5}}{8}$=$\frac{96}{25}$，
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．