Question

12．由于雾霾天气趋于严重，我市某电器商城根据民众健康需求，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）完成下列表格，并直接写出月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式及售价x的取值范围；

售价（元/台）	月销售量（台）
400	200
390	250
x	-5x+2200

（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据“实际销量=原销量+每降10元多售出的数量×降低的价格中10元的个数”列出实际销售量的函数解析式，从而求出y=250时x的值，再根据“售价不能低于300、不低于450台的销售任务”列不等式组可得x的取值范围；
（2）根据“总利润=每台利润×每月的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式可得函数的最值．

解答 解：（1）根据题意，月销售量y与售价x之间的函数关系式为y=200+50×$\frac{400-x}{10}$=-5x+2200，
当y=250时，得-5x+2200=250，
解得：x=390，
补全表格如下：

售价（元/台）	月销售量（台）
400	200
390	250
x	-5x+2200

由$\left\{\begin{array}{l}{x≥300}\\{-5x+2200≥450}\end{array}\right.$得300≤x≤350；

（2）∵w=（x-200）（-5x+2200）=-5（x-320）²+72000，
∴当x=320时，w_最大=72000，
答：当售价x定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出实际销售量关于售价x的关系式，由利润的相等关系得出总利润的相等关系及二次函数的性质是解题的关键．