题目内容

观察下列各式数学公式，数学公式，数学公式…
按照上述三个等式及其变化过程，
①猜想5数学公式=________，________=15数学公式；
②试猜想第n个等式为________；
③证明②式成立．

        =（n+1）
分析：①注意观察左边的被开方数是一个整数+分数，其分数的分子是1，分母比其整数大2．右边的结果根号外的比左边的整数大1，根号内的是左边的分数．
②观察给出的例子得出规律：（n≥1）．
③根据完全平方公式和二次根式的性质即可证明．
解答：①猜想 5=，=15；
②根据规律，可以表示为：=（n+1），
③验证如下：
左边===（n+1）=右边，等式成立；
点评：本题考查了完全平方公式和二次根式的性质．解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．本题的规律为：从1开始，一个数n加上n+2的倒数再开方等于n+1乘以n+2的倒数再开方．
练习册系列答案
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12、观察下列各式：x，3x2，7x3，15x4，31x5，…．按此规律写出的第8个式子是
255x8
．
观察下列各式：2 
2
3
=
2+ 
2
3
；3 
3
8
=
3+ 
3
8
；
4 
4
15
=
4+ 
4
15
；
（1）按上述两个等式的特征，请猜想5
5
24
=
 
；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的式子；
（3）证明你在（2）中写的结论成立．
观察下列各式的推导过程，按其反映的规律，猜想用n（n≥2的整数）表示的等式，并加以推导．2
2
3
=
23
3
=
(23-2)+2
2 2-1
=
2(22-1)+2
2 2-1
2+
2
3
；
3
3
8
=
33
8
=
(33-3)+3
3 2-1
=
3(32-1)+3
3 2-1
3+
3
8
．
观察下列各式，回答问题
1-
1
22
=
1
2
×
1
3
，1-
1
32
=
2
3
×
4
3
，1-
1
42
=
3
4
×
5
4
…．
按上述规律填空：
（1）1-
1
1002
=
99
100
99
100
×
101
100
101
100
，1-
1
20052
=
2004
2005
2004
2005
×
2006
2005
2006
2005
．
（2）计算：(1-
1
22
)×(1-
1
32
)…×(1-
1
20042
)×(1-
1
20052
)．
观察下列各式：a1=3×1-1=2，a2=3×2-1=5，a3=3×3-1=8，a4=3×4-1=11，…按此规律：
（1）a10=
3×10-1=29
3×10-1=29
，a100=
3×100-1=299
3×100-1=299
；
（2）写出an的公式：an=
3n-1
3n-1
．

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